Definición de Integrales
La integración es un concepto fundamental de las matemáticas
avanzadas, especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático.
Básicamente, una integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente
pequeños.
El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es
una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación, es
muy común en la ingeniería y en la matemática en general; se utiliza
principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de
revolución.
Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René
Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este
último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo
integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.
Dada una función
de una
variable real y un intervalo
de la recta real, la integral
es igual al área de la región del plano limitada entre la gráfica de , el eje , y las líneas verticales y ,
donde son negativas las áreas por debajo del eje .
La palabra "integral" también puede hacer referencia a
la noción de primitiva: una función F, cuya derivada es la función dada . En este caso se denomina integral indefinida,
mientras que las integrales tratadas en este artículo son las integrales
definidas. Algunos autores mantienen una distinción entre integrales primitivas
e indefinidas.
Los principios de la integración fueron formulados por Newton y
Leibniz a finales del siglo XVII. A través del teorema fundamental del cálculo,
que desarrollaron los dos de forma independiente, la integración se conecta con
la derivación, y la integral definida de una función se puede calcular
fácilmente una vez se conoce una antiderivada. Las integrales y las derivadas
pasaron a ser herramientas básicas del cálculo, con numerosas aplicaciones en
ciencia e ingeniería.
Bernhard Riemann dio una definición rigurosa de la integral. Se
basa en un límite que aproxima el área de una región curvilínea a base de
partirla en pequeños trozos verticales. A comienzos del siglo XIX, empezaron a
aparecer nociones más sofisticadas de la integral, donde se han generalizado
los tipos de las funciones y los dominios sobre los cuales se hace la
integración. La integral curvilínea se define para funciones de dos o tres
variables, y el intervalo de integración [a,b] se sustituye por una cierta
curva que conecta dos puntos del plano o del espacio. En una integral de
superficie, la curva se sustituye por un trozo de una superficie en el espacio
tridimensional.
Las integrales de las formas diferenciales desempeñan un papel
fundamental en la geometría diferencial moderna. Estas generalizaciones de la
integral surgieron primero a partir de las necesidades de la física, y tienen
un papel importante en la formulación de muchas leyes físicas cómo, por
ejemplo, las del electromagnetismo. Los conceptos modernos de integración se
basan en la teoría matemática abstracta conocida como integral de Lebesgue, que
fue desarrollada por Henri Lebesgue.
Las integrales aparecen en muchas situaciones prácticas.
Consideremos una piscina. Si es rectangular, entonces, a partir de su longitud,
anchura y profundidad, se puede determinar fácilmente el volumen de agua que
puede contener (para llenarla), el área de la superficie (para cubrirla), y la
longitud de su borde (para atarla). Pero si es ovalada con un fondo redondeado,
todas estas cantidades deben ser calculadas mediante integrales. Al comienzo
puede ser suficiente con aproximaciones prácticas, pero al final harán falta
respuestas exactas y rigurosas a este tipo de problemas.
Aproximaciones a la integral de
entre 0 y 1, con ■ 5 muestras por la
izquierda (arriba) y ■ 12 muestras por la
derecha (abajo).
Para empezar, se considerará la curva entre
y , suponiendo que . La pregunta es:
¿Cuál es el área bajo la función
, en el intervalo desde
hasta ?
Esta área (todavía desconocida) será la integral de . La notación para esta integral será
.
Como primera aproximación, se mira al cuadrado unidad dado por
los lados x=0 hasta x=1 y y=f(0)=0 y y=f(1)=1. Su área es exactamente 1. Tal
como se puede ver, el verdadero valor de la integral tendrá que ser más
pequeño. Reduciendo el ancho de los rectángulos empleados para hacer la
aproximación se obtendrá un mejor resultado; así, se parte el intervalo en
cinco pasos, empleando para la aproximación los puntos 0, 1⁄5, 2⁄5, así hasta
1. Se ajusta una caja cada paso empleando la altura del lado derecho de cada
pedazo de la curva, así , , … y
así hasta . Sumando las áreas de estos
rectángulos, se obtiene una mejor aproximación de la integral que se está
buscando,
Nótese que se está sumando una cantidad finita de valores de la
función f, multiplicados por la diferencia entre dos puntos de aproximación
sucesivos. Se puede ver fácilmente que la aproximación continúa dando un valor
más grande que el de la integral. Empleando más pasos se obtiene una
aproximación más ajustada, pero no será nunca exacta: si en vez de 5
subintervalos se toman doce y se toma el valor de la izquierda, tal como se
muestra en el dibujo, se obtiene un valor aproximado para el área, de 0,6203,
que en este caso es demasiado pequeño. La idea clave es la transición desde la
suma de una cantidad finita de diferencias de puntos de aproximación
multiplicados por los respectivos valores de la función, hasta usar pasos
infinitamente finos, o infinitesimales. La notación
concibe la integral como una suma ponderada (denotada por la
"S" alargada), de los valores de la función multiplicados por pasos
de anchura infinitesimal, los llamados diferenciales (indicados por dx).
Con respecto al cálculo real de integrales, el teorema
fundamental del cálculo, debido a Newton y Leibniz, es el vínculo fundamental
entre las operaciones de derivación e integración. Aplicándolo a la curva raíz
cuadrada, se tiene que mirar la función relacionada y simplemente tomar , donde
y son las fronteras del intervalo
[0,1]. (Éste es un ejemplo de una regla general, que dice que para f(x) = xq,
con q ≠ −1, la función relacionada, la llamada primitiva es F(x) =
(xq+1)/(q+1).) De modo que el valor exacto del área bajo la curva se calcula
formalmente como
Históricamente, después de que los primeros esfuerzos de definir
rigurosamente los infinitesimales no fructificasen, Riemann definió formalmente
las integrales como el límite de sumas ponderadas, de forma que el dx sugiere
el límite de una diferencia (la anchura del intervalo). La dependencia de la
definición de Riemann de los intervalos y la continuidad motivó la aparición de
nuevas definiciones, especialmente la integral de Lebesgue, que se basa en la
habilidad de extender la idea de "medida" de maneras mucho más
flexibles. Así, la notación
hace referencia a una suma ponderada de valores en que se divide
la función, donde μ mide el peso que se tiene que asignar a cada valor. (Aquí A
indica la región de integración.) La geometría diferencial, con su
"cálculo de variedades", proporciona otra interpretación a esta
notación familiar. Ahora f(x) y dx pasan a ser una forma diferencial, ω = f(x)dx, aparece un nuevo operador diferencial d, conocido
como la derivada exterior, y el teorema fundamental pasa a ser el (más general)
teorema de Stokes,
a partir del cual se deriva el teorema de Green, el teorema de
la divergencia, y el teorema fundamental del cálculo.
Recientemente, los infinitesimales han reaparecido con rigor, a
través de innovaciones modernas como el análisis no estándar. Estos métodos no
sólo reivindican la intuición de los pioneros, también llevan hacia las nuevas
matemáticas, y hacen más intuitivo y comprensible el trabajo con cálculo
infinitesimal.
A pesar de que hay diferencias entre todas estas concepciones de
la integral, hay un solapamiento considerable. Así, el área de la piscina oval
se puede hallar como una elipse geométrica, como una suma de infinitesimales,
como una integral de Riemann, como una integral de Lebesgue, o como una
variedad con una forma diferencial. El resultado obtenido con el cálculo será
el mismo en todos los casos.
Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n
